DTFT(Discrete-Time Fourier Transform)

Discrete-Time Fourier Transform은 Discrete Time domain 신호를 Continuous frequency domain으로 옮기는 방법이다.(나중에 DFT가 나오는데 서로 다른 것이니 헷갈리지 말것!)

신호라는 것을 배워본 적이 없어서 time domain과 frequency domain을 이해하는것도 어려웠는데 유튜브 영상이 도움이 되었다. fourier transform을 시각적으로 보여주는 영상인데 time domain에서의 신호가 복소평면(z-plane)에서 어떻게 그려지는지 보여주고 그것을 frequency domain의 그래프로 다시 그리는 것을 보여준다. (몰랐는데 한국어 번역 영상도 존재한다.)

Definition of DTFT

$x(n)$ 은 time domain에서의 신호이고, $X(e^{jw})$ 는 frequency domain에서의 신호를 의미한다. 여기서의 $n$은 어떤 단위를 가지는 시간 영역에 바로 대응되지는 않는다. $n$과 $n$+1사이의 시간 간격이 얼마일지 알 수 없다는 의미로 보인다.

$x(n)$ 이 absolutely summable 하다면,
$$
X(e^{jw})\equiv \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)e^{-jwn}
$$
$$
x(n) = \frac{1}{2 \pi}\int_{-\pi}^{\pi}X(e^{jw})e^{-jwn}dw
$$
z 평면상의 지름이 1인 원 위의 점들에서만 사용가능하다. 그래서 $e^{jw}$가 입력으로 들어가는 것이다.

Properties

frequency domain에서 형태(?)를 알기 위한 중요한 두 가지 성질이 있다. periodicity와 symmetry이다.

periodicity는 Discrete time이므로 주파수 영역에서는 $2\pi$ 만큼의 주기성을 가진다는 것이다. (왜??) 따라서 $2\pi$ 만큼의 구간만 보면 전체 신호를 알 수 있다.

symmetry는 신호가 conjugate symmetric한 특성을 가진다는 것이다. 따라서 0에서 $\pi$의 구간만 알아도 전체 신호를 알 수 있다. 실수 영역에서는 even symmetry, imaginary 영역에서는 odd symmetry이다. magnitude를 그려보면 even symmetry이고, phase는 odd symmetry이다.

위의 두 가지 외에도 아래와 같은 여러 특징들을 가진다.

• Linearity
• Time shifting
• Frequency shifting
• Conjugate
• Folding
• Symmetries in real sequences
• Convolution & Multiplication
• Energy

Frequency Domain Representation of LTI system

LTI는 Linear Time-Invariant를 의미한다. 이중 Time-Invariant하다는 의미는 input에 delay가 생길 경우 output에서도 똑같이 delay가 생겨서 시간 변화에 따른 출력의 차이가 없다는 것이다.

대표적인 LTI system인 impulse response $h(n)$ 를 생각해보자.

LTI system represented by the impulse response $h(n)$

이러한 impulse response의 DTFT를 frequency response라고 한다.

frequency response H(e^{jw})

time domain에서는 convolution이었던 것이 frequency domain으로 가면서 곱셈이 된다.

만약 LTI system이 아래와 같이 차분방정식으로 주어졌다면, 그것을 통해서 frequency response를 구할 수 있다.

$$
y(n) + \sum_{l=1}^{N} a_{l} y(n-l) = \sum_{m=0}^{M} b_{m}x(n-m)
$$
$x(n)=e^{j \omega n}$이고, $y(n)$은 frequency response를 통과한 결과이므로 $H(e^{j\omega})e^{j\omega n}$이되고, 이 값을 위의 식에 대입한다.
$$
H( e^{j\omega }) e^{j\omega n}+\sum_{l=1}^{N} a_{l} H( e^{j\omega}) e^{j\omega(n-l)} = \sum_{m=0}^{M} b_{m} e^{j\omega (n-m)}
$$
그리고 식을 정리하면 아래와 같은 frequency response를 구할 수 있다.
$$
H( e^{j\omega }) = \frac{\sum_{m=0}^{M} b_{m} e^{-j\omega m}}{1 + \sum_{l=1}^{N} a_{l} e^{-j\omega l}}
$$

 

Sampling and Reconstruction of Analogue Signals

결국 특정 조건에서 discrete한 신호를 다시 Continuous하게 만들 수 있다는 것. 정리 더 해야한다.

 

 

 

Reference

• 디지털신호처리, 국민대학교 정경훈 교수님 강의
• Digital Signal Processing Using MATLAB, 3rd Edition by Vinay K. Ingle, John G. Proakis